Vergiss es - USB-Verteiler und Bluetooth Sets funktionieren nicht korrekt zusammen.
Das musste ich auch mit meinem ehemaligen Logitech Set feststellen.
Das Problem liegt im Bluetooth - der ist nämlich nicht wie Funk, dass der immer nur auf ein Gerät geeicht ist, sondern geht nach "Vorhanden-sein". Wenn Du also beim Verteiler umschaltest, verliert er die Bluetooth Verbindung und erkennt plötzlich einen neuen Host. (Eigentlich müsste man den Bluetooth empfänger am Verteiler anstecken, damit das rein technisch einwandfrei funktionieren kann.)
Mein Tipp besorge Dir entweder ein FunkSet (Tastatur&Maus) für den Verteiler, oder ein weiteres Set um den Verteiler wegzulassen.
(Angeblich GIBT es Verteiler, die auch mit Bluetooth klar kommen. Allerdings sind die sehr teuer und ich habe auch da bis jetzt eher negatives gelesen. Die BlueTooth Technik ist nunmal kein Funk ansich.)